distribusi binomial

1. Distribusi Binomial
Suatu percobaan sering kali terdiri atas ulangan-ulangan, dan masing-masin mempuyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil dan gagal. Misalnya saja dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali. Hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Dan salah satu diantara keduanya ditentukan sebagai “berhasil”. Begitupula, bila 5 kartu diambil berturut-turut. Untuk kartu merah diberi label “berhasil” atau “gagal” jika yang terambil warna hitam.
Bila setiap kartu dikembalikan sebelum pengembalian berikutnya, maka kedua percobaan yan dilakukan diatas mempunyai ciri-ciri sama, yaitu bahwa ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½. Percobaan semacam ini dinamakan percobaaan binom. Perhatikan bahwa dalam percobaan pengambilan kartu tersebut, peluang keberhasilan dalam setiap ulangan akan berubah ila kartu tidak dikebalikan sebelum pengambilan berikutnya. Karena peluang terambilnya pada pengambilan pertama adalah ½, sedangkan pada engambila yang kedua peluang itu bersifat bersyarat, bernilai 26/51 atau 25/51, bergantung pada hasil pengembalian pertama. Bila demikian halnya percobaan ini bukan bersifat binom. Untuk lebih ringkasnya dapat dilihat pada definisi berikut.
Jika suatu ulangan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagala q=1-p , maka distribusi probabilitas bagi peubah acak binomial x, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangn bebas , adalah

B(x;n;p) = Cxn px qn-x
Untuk x=1,2,3,4,……., n
Contoh :
Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 buah dadu setimbang dilempar 5 kali.
Jawab : peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang kegagalan adalah 5/6. Dalam hal itu munculnya bilangan 2 di anggap keberhasilan. Maka :
B {x;5,1/6} = C35 (1/6)3 (5/6)2
= 5! . 52 .
3! 2! 63
= 0,0032
2. Distribusi Multinomial
Percobaan Binomial menjadi suatu percobaan multinomial bila kita membuat setiap percobaan mempunyai lebih dari 2 keluaran yang mungkin. Penarikan sebuah kartu dari suatu tumpukan dengan pengembalian merupakan percobaan multinomial bila ke-empat jenis kartu menjadi keluarannya.
Secara umum, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan salah satu dari k keluaran yan mungkin E1,E2, ………, Ek dengan probabilitas P1,P2, ………, Pk maka sebaran probabilitaspeubah acak X1,X2, ……….., Xk yang mewakili jumlah kejadian untuk E1,E2, ………, Ek didalam n percobaan yang bebas adalah

n X1 X2 ……X3
f(X1,X2,…….xk;P1,P2,…….Pk,n)= X1,X2,….XK P1 P2 PK

Dengan
∑ Xi = n dan ∑ Pi = 1

Contoh : Bila sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapakah probabilitas mendapatkan suatu total 7 atau 11 ebanyak 2 kali , pasangan angka yang sama sekali, dan sembarang gabungan lainnya sebanyak 3 kali.
Jawab : Kita daftar kejadian-kejadian yang mungkin berikut ini :
E1= sebuah total 7 atau 11 muncul
E2 = Pasangan angka yang sama muncul
E3 = Bukan angka sama atau bukan total 7 atau 11 yang muncul
Probabilitas yang berkesuaian untuk percobaan yang diketahui tersebut adalah p1 = 2/9 , p2= 1/6 dan p3 = 11/18. Nilai-nilia in tetap konstan untuk ke 6 percobaan tersebut. Dengan menggunakan sebaran multinomial dengan x1 = 2 , x2 = 1, dan x3=3 kita dapatkan bahwa probabilitas yang diperlukan adalah







3. Distribusi Hipergeometrik
Bila dalam populasi N benda, k benfda diantaranya diberi label ‘berhasil’ N-k benda lainya diberi label ‘gagal’, maka distribusi probabilitas bagi peubah acak geometrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n, adalah


h(x;N,n,k) = .

Untuk x = 0,1,2,3, ………., k


Contoh :
Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperankat kartu bridge, berapa probabilitas diperoleh 3 kartu hati.

Jawab : Dengan menggunakan sebaran hipergeometrik untuk n= 5, N=52 , k=13, dan x=3, maka probabilitas memperoleh 3 kartu hati adalah,


h(3;52,5,13)= ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬______________

sedangkan nilai rata-rata dan ragam bagi distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

μ = n k .
N

σ2 = N –n . n k . { 1 - k .}
N – 1 N N

Contoh : Dari contoh di atas tentukan μ dan σ2 nya
Jawab :

μ = (5) (13) . =1.25
52
σ2 = (47/51)(5)(13/52)(1-13/42)