Kalkulus

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

sejarah perkembangan

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2]

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari.. deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8][9][10]

Pada zaman modern,, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.[11]

Pengaruh penting

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

limit tak hingga
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:L%C3%ADmite_01.svg

tabel integral

1. \int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!
2. \int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
3. \int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx
4. \int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\!
5. \int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C
6. \int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C

tabel integral

kalu pengen tabel integral disini neh http://integral-table.com/

Solusi Persamaan Deferensial Orde 2

Hem teringat jaman kuliah persamaan deferensial yang harus mengulang beberapa tahun yang lalu. Padahal kalo mau sedikit saja belajar tidak begitu susah. Yah beginilah manusia.
Sedikit mengingat saja biar nanti saat saya lupa bisa pergi ke blog sendiri untuk mereview:
Bentuk umum dari persamaan deferensial orde 2 adalah: a{d^2y}/{dx^2}+b{dy}/{dx}+cy=f(x)
Untuk mencari solusinya kita harus meneliti dari 2 keadaan, yaitu jika f(x) = 0 dan f(x) <>0″ title=”f(x) <>0″/>
Yang pertama, f(x)=0, maka bentuk umumnya adalah : untuk mencari solusinya maka diperlukan persamaan karakteristiknya yaitu am^2+bm+c=0. Setelah itu kita cari solusi dari persamaan karakteristiknya yaitu didapat m_1 dan m_2
Maka solusi dari persamaan deferensial tersebut adalah y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}.
Contoh:
Carilah solusi dari {d^2y}/{dx^2}+3{dy}/{dx}+2y=0….. maka:
Persamaan karakteristiknya adalah m^2+3m+2=0, maka (m+1)(m+2)=0 sehingga m_1=-1 dan m_2=-2.
Jadi solusi untuk {d^2y}/{dx^2}+3{dy}/{dx}+2y=0 adalah :
y=Ae^{-x}+Be^{-2x}
Sementara ini dulu.. nanti kita lanjut mencari solusi apabila m_1=m_2, OK?

beda turunan dengan deferensial
Misalkan: .
Selanjutnya, akan lebih mudah menggunakan gambar:

Seharusnya dari keterangan di atas, sudah jelas bahwa turunan dan diferensial itu berbeda. Turunan adalah hasil pembagian antara 2 buah diferensial.
Sebagai contoh,
Jika kita mengatakan bahwa "turunan dari adalah ", maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa "diferensial dari adalah ", maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: "diferensial dari adalah dikalikan dengan diferensial x" atau dapat ditulis begini: .. Memang.. Sepertinya hal sepele, namun krusial sebagai konsep...

Lalu, kenapa dinamakan diferensial???
Ingat-ingat kembali rumus turunan:

Yupp.. Diferensial adalah selisih variabel (Ingat "difference" dalam bahasa inggris artinya "beda", bukan?).. Sekadar mengingatkan, di rumus di atas, maka x adalah variabel bebas sedangkan y adalah variabel terikat.. Sebenarnya, bisa saja rumusnya begini:

Di atas maka y adalah variabel bebas sedangkan nilai x terikat terhadap variabel y.
Jika , maka (Ingat fungsi invers)..

Betul Atau Salah?!?
Di sini akan diberikan beberapa pernyataan (persamaan), silakan dijawab apakah pernyataan tersebut betul atau salah...
1.
2.
3.
Jawab:
Ketiganya BENAR. Bisakah kalian tahu mengapa??

Kenapa banyak orang yang terbalik mengenai kedua istilah ini??
Pertanyaan yang bersifat analitik dan dijawab dengan "sok tahu"-nya saya.. Pertama, mereka tidak pernah diajarkan mengenai perbedaan keduanya. Kedua, diferensial itu bagian dari Derivatif.. Jadi, "betty" alias beda tipiss.. Ketiga, mungkin saja, mereka tertukar dengan istilah-istilah lainnya, seperti:
kalkulus diferensial: materi kalkulus yang belajar tentang turunan.
diferensiasi: proses menurunkan.
differentiable (diferensiabel): dapat diturunkan atau turunan fungsi di titik itu exist (ada).

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi dapat ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .

pdf klik link berikut
http://mathematica.aurino.com/wp-content/uploads/2008/11/turunan-diferensial-taylor.pdf